Логические связи между суждениями. истиностное значение сложных суждений
В рассуждениях отдельные суждения связываются в сложные суждения с помощью логических связок. Наиболее употребительными из них являются:
«и», которая обозначается символом Ù
«или», которая обозначается символом Ú
«или» в исключительном смысле, которая обозначается символом Ú
«если…, то», которая обозначается символом ®
«если и только если», которая обозначается символом º
«не», которая обозначается символом ¾
В грамматике связки Ù, Ú, Ú, ®, º, называются союзами. Часто связка Ù, связывающая отдельные предложения, отпускается и заменяется точкой. Связка - именуется в грамматике отрицанием.
Суждение, не содержащее указанных связок, называется простым или атомарным. Истиностное значение сложных суждений, образованных из атомарных однократным применением логических связок задается следующей таблицей истинности.
|
р |
q |
` |
` |
pÚq |
pÚÚq |
рÙq |
p®q |
pºq |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Суждения `p и `q называются отрицанием суждений p и q.
Суждения p Ú q - дизъюнкцией суждений p и q.
Суждение p Ú Úq – строго разделительной дизъюнкцией суждений p и q.
Суждение p Ù q - конъюнкцией суждений p и q.
Суждение p ® q – импликацией суждений p и q.
Суждений p º q – эквиваленцией суждений p и q.
В рассуждениях логические связи применяются многократно в разных сочетаниях. Конечно, при выявлении истинности всего рассуждения очень важны конкретные знания. Но логика тем и хороша, что нередко дает очень простой способ установления истинности какого-то рассуждения, не требующий конкретных знаний. Суть его в следующем. В рассуждении, выраженном в естественном языке, выделяются входящие в него простые суждения. Если какие-то суждения лишь подразумеваются, то они формулируются явно. Каждое простое суждение обозначается переменной, причем одни и те же суждения обозначаются одной и той же переменной, а разные – разными переменными. Затем, пользуясь определениями логических связей, записывают структуру всего рассуждения в виде сложного высказывания. При этом разделяющие два суждения точку или союз «но» заменяют знаком конъюнкции. Истинность рассуждения определяют так: сначала задаются все возможные наборы истинностных значений переменных, затем определяют истинностное значение входящих в рассуждение сложных высказываний, образованных из простых однократным применением логических связок, далее определяют истинностное значение входящих в рассуждение сложных высказываний, образованных из предыдущих однократным применением логических связок и т.д. до тех пор, пока не будет установлено истинностное значение всего высказывания, являющееся записью рассуждения. Все рассуждение истинно, если отвечающее ему сложное высказывание принимает значение истины при любом наборе значений переменных. Если хотя бы при одном наборе значений переменных оно принимает значение «ложь», то рассуждение считается ложным.