Открыв для себя класс отрицательных чисел, математика делает следующий шаг. Она распространяет на них все те опе­рации, которые были приняты для положительных чисел, и таким путем создает новое знание, характеризующее ранее неисследованные структуры действительности. Описанный способ построения знаний распространяется не только в математике, но и в естественных науках (метод выдвижения гипотез с их последующим обоснованием опытом).

С этого момента заканчивается преднаука. Поскольку на­учное познание начинает ориентироваться на поиск предмет­ных структур, которые не могут быть выявлены в обыденной практике и производственной деятельности, оно уже не может развиваться, опираясь только на эти формы практики. Возни­кает потребность в особой форме практики, обслуживающей развивающееся естествознание, - научном эксперименте.

Древние греки пытаются описать и объяснить возникнове­ние, развитие и строение мира в целом и вещей его составля­ющих. Эти представления получили название натурфилософ­ских. Натурфилософией (философией природы) называют преимущественно философски-умозрительное истолкование природы, рассматриваемой в целостности, и опирающееся на некоторые естественнонаучные понятия. Некоторые из этих идей востребованы и сегодняшним естествознанием.

Для создания моделей Космоса нужен был достаточно развитый математический аппарат. Важнейшей вехой на пути создания математики как теоретической науки были работы пифагорейской школы. Ею была создана картина мира, которая хотя и включала мифологические элементы, но по основным своим компонентам была уже философско-рациональным образом мироздания. В основе этой кар­тины лежал принцип: началом всего является число. Пифа­горейцы считали числовые отношения ключом к понима­нию мироустройства. И это создавало особые предпосылки для возникновения теоретического уровня математики. За­дачей становилось изучение чисел и их отношений не про­сто как моделей тех или иных практических ситуаций, а са­мих по себе, безотносительно к практическому примене­нию. Ведь познание свойств и отношений чисел теперь мыслилось как познание начал и гармонии Космоса. Чис­ла представали как особые объекты, которые нужно пости­гать разумом, изучать их свойства и связи, а затем уже, ис­ходя из знаний об этих свойствах и связях, объяснять на­блюдаемые явления.

Именно эта установка характеризует переход от чисто эм­пирического познания количественных отношений (привя­занного к наличному опыту) к теоретическому исследованию, которое, оперируя абстракциями и создавая на основе ранее полученных абстракций новые, осуществляет прорыв к но­вым формам опыта, открывая неизвестные ранее вещи, их свойства и отношения. В пифагорейской математике наряду с доказательством ряда теорем, наиболее известной из кото­рых является знаменитая теорема Пифагора, были осуществ­лены важные шаги к соединению теоретического исследова­ния свойств геометрических фигур со свойствами чисел. Так, число «10», которое рассматривалось как совершенное число, соотносилось с треугольником'.

К началу V в. до н. э. Гиппократом Хиосским было представлено первое в истории человечества изложение основ геометрии, базирующейся на методе математической индукции. Достаточно полно была изучена окружность, так как для гре­бков круг являлся идеальной фигурой и необходимым элементом их умозрительных построений. Немногим позже стала развиваться геометрия объемных тел - стереометрия. Теэтетом была создана теория правильных многогранников, он указал способы их построения, выразил их ребра через ради­ус описанной сферы и доказал, что никаких других правиль­ных выпуклых многогранников существовать не может. Особенности греческого мышления, которое было рациональным, теоретическим, что в данном случае равносильно Созерцательному (греческий- рассматриваю, созерцаю), наложили отпечаток на формирование знаний в этот период. Основная деятельность ученого состояла в созерцании и осмыслении созерцаемого. А что же созерцать, как не небесный свод, по которому движутся небесные светила? Без сомнения, наблюдения над небом производились и в чисто практических целях в интересах навигации, сельского хозяйства, для уточнения календаря. Но не это было для греков лавным. Надо было не столько фиксировать видимые перемещения небесных светил по небесному своду и предсказы­вать их сочетания, а разобраться в смысле наблюдаемых явлений, включив их в общую схему мироздания. Причем в отличие от Древнего Востока, который накопил огромный материал подобных наблюдений и использовал их в целях предсказаний, астрология в Древней Греции не находила себе применения.